Umíte spočítat průměr?

Co je to za otázku, řeknete si nejspíš… A ptám se na tu nejjednodušší variantu, kdy byla naměřena rozdílná hodnota nějaké veličiny postupně na dvou stejně velkých částech. Stačí přece obě hodnoty sečíst a vydělit dvěma, to by zvládly i děti na prvním stupni základní školy.

A přece. V žádné z dalších čtyř úloh jednoduchá aritmetika neplatí. Alespoň pokud hledáte výsledek se skutečnou vlastností průměru, laicky řečeno „se schopností nahradit rozdílné hodnoty určité veličiny jedním společným reprezentantem - tak, aby výsledek nějakého výpočtu vycházel (s tímto jediným reprezentantem) stejně“.
• !?!: Vyzvedli jste si auto ze servisu a jedete na víkend do hor.  Je to dvě stě kilometrů, naštěstí po dálnici. V servise vám doporučili prvních 100 km motor příliš nezatěžovat, ručičku tachometru tedy držíte na osmdesátce. Jakmile máte první stovku za sebou, snažíte se dohnat ztrátu a jedete druhou polovinu trasy sto dvacet. Jaká bude vaše průměrná rychlost? Rovných sto to nebude, jak asi tušíte.
• !?!: Podobná úloha ve výrobní variantě: Při realizaci zákaznické objednávky na celkem 2000 kusů výrobku  se prvních tisíc kusů vyrábí s frekvencí  20 kusů za hodinu. Zbývající tisíc se po optimalizaci výrobního postupu vyrobil s frekvencí 50 kusů za hodinu. Jaký byl průměrný hodinový výkon linky na zakázce?
• !?!: Vaší společnosti se mezi léty 2013 a 2014 zvýšily tržby o 40% meziročně, a pokud to letos dopadne dobře, přidáte k loňským tržbám dalších 10%. Jaký průměrný meziroční růst vykážete za období let 2014 a 2015?
• !?!: Na konci roku vám banka připsala na účet 3% úrok jako zvýšení zůstatku vašeho termínovaného vkladu. Letos bude úroková sazba pouze 1%. Jaký průměrný roční výnos v % vám za oba tyto roky tato investice přináší?

V čem je problém: aritmetický průměr se v předcházejících úlohách nepočítá jinak, než jsme zvyklí (s výsledky 100 km/hod, 35ks/hod, 25% resp. 2%), pouze -bohužel- pro uvedené případy není tím správným reprezentantem. Pokud by - v případě prvním - dosáhla průměrná rychlost "rovnou stovku", vaši trasu byste ujeli přesně za dvě hodiny (čas je dráha lomeno rychlost, tedy 200/100), . Prvních 100 km   vám ale trvá 1,25 hodiny, tj.75 minut (100/80), druhá stovka pak znamená dalších 0,83 hodiny, tj. 50 minut (100/120). Dohromady 125 minut, tedy o 5 minut více, než jsme spočítali pomocí aritmetického průměru.

Správným reprezentantem není v tomto případě (stejně jako v úloze č.2) průměr aritmetický, ale tzv. harmonický (počet měření lomeno součet převrácených naměřených hodnot: 2/(1/80+1/120) = 2/0,208333 = 96 [km/hod]). Podobně, třetí a čtvrtá úloha volá po reprezentantu v podobě geometrického průměru (je-li počet měření n, pak je to n-tá odmocnina z součinu naměřených hodnot). Harmonický průměr se používá tehdy, jsou-li předmětem studia části vytvářející celek v čitateli zlomku (kilometrické úseky, je-li měřenou veličinou rychlost, počty kusů v druhé úloze, je-li měřenou veličinou kusový výkon apod.). Všimněte si: pokud by šlo o úseky časové (první hodinu jedete osmdesátkou, vyrábíte s frekvencí 20ks/hod apod.), reprezentoval by správně starý známý aritmetický průměr. Geometrický průměr je správným reprezentantem, jakmile ve výsledku dochází k řetězení efektu, který je předmětem výpočtu (složené úročení v případě termínovaného vkladu; pro jednoduchý úrok byste vystačili s aritmetickým průměrem).

Co říci závěrem? Chcete-li být  považováni alespoň za průměrné počtáře, zřejmě vám nezbývá, než počítat průměry správně.